Devoir Surveillé n°2

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1 heure

Exercice n°1: 3 points

Soit P(x) un polynome tel que :

1. Trouver les racines de P.

2. Résoudre l'équation : (On pourra poser ).

Exercice n°2: 9 points

Dans un triangle ABC rectangle en B tel que AB = 12 cm et BC= 10 cm, on place D et E tels que et E le barycentre de .

Les droites (BE) et (DC) se coupent en I et la droite (AI) coupe (BC) en F.

1. Démontrer que D est le barycentre de {(A;3),(B;1)} et que E est le barycentre de {(A;3),(C;6)}.

2. Soit G le barycentre de {(A,3);(B,1);(C,6).
   a) Démontrer que D, C et G sont alignés.
   b) Démontrer que E, B et G sont alignés.
   c) Qu'en déduire pour G?
   d) En déduire en fonction de .

3. Déterminer et contruire l'ensemble Γ des points M du plan tel que.

Exercice n°3: 4 points

Soit un polynome.

1. Trouver une racine évidente de P.

2. Trouver a, b et c tels que .

3. En déduire le domaine de définition de g définie par : .

Exercice n°4: uniquement si tout le reste est terminé 4 points +2 (bonus)

Soit trois points A, B et C non alignés et soit un réel k de l'intervalle [1;+∞[.

On considère G_k, le barycentre du système : .

1. Représenter A, B, C et I le milieu de [BC]. Construire G₁ et G_-1.

2. Justifier l'existence de G_k, pour tout k de [1;+∞[.

3. Démontrer l'égalité pour tout k de [1;+∞[.

4. Etablir le tableau de variations de la fonction f définie sur [1;+∞[ par : .

5. En déduire l'ensemble des points G_k lorsque k décrit l'intervalle [1;2].