DEVOIR SURVEILLE N°9
Exercice n°1 :
Une boite contient 6 boules rouges et n boules blanches. Un jeu consiste à tirer successivement sans remise deux boules de la boite. Si les deux boules ont la même couleur, le joueur gagne 1 euro, si elles sont de couleurs différentes le joueur perd 1 euro.
Dans cette question, on suppose
n=3. Calculer les probabilités
d'obtenir :
a) deux boules de même couleur.
b) deux boules de couleurs différentes.
Dans cette question, l'entier n
est quelconque, supérieur ou égal à 2.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux
boules associe le gain "algébrique" du joueur.
a) Exprimer, en fonction de n,
les probabilités des évènements
et
.
b) Prouver que l'espérance mathématique E(X) est telle que
: .
c) Pour quelles valeurs de n,
le jeu est-il équitable?
d) Pour quelles valeurs de n
le jeu est-il défavorable?
Exercice n°2 :
Soit f
la fonction définie sur
par
.
On note
sa courbe représentative dans un repère orthonormal :
l’unité
graphique est 2 cm.
Déterminer les limites de
f aux bornes de son domaine
de définition.. En déduire des asymptotes éventuelles
à .
Etudier les variations de f
sur
et établir son tableau de variations complet.
a) Démontrez que la droite
d'équation y = x
est tangente à
au point d'abscisse 1.
b) Construire ,
ses asymptotes et
.
Soit la suite
définie par :
.
Pour quelle valeur de u0, la suite est-elle constante?
A l’aide de
et de la droite d’équation
,
représenter graphiquement les premiers termes de la suite
.
Quelles conjectures peut-on émettre ?
a) Démontrer que pour tout
entier n on a :
.
b) En déduire que (un)
est croissante.
Soit ()
la suite définie pour tout
par :
.
a) Montrer que la suite ()
est arithmétique : on indiquera sa raison. Exprimer alors
en fonction de n.
d) Quelle est la limite de (vn)?
En déduire celle de (un).
Exercice n°3 :
Dans un repère orthonormal (O,
,
),
on a :
.
Soit M(x ; y) un point du plan.
Déterminer l’équation
cartésienne de l’ensemble C
des points M du plan tels que .
En déduire la nature de C et indiquer ses éléments caractéristiques.
Exercice n°4 : bonus
Dans un repère orthonormal
,
P
est la parabole d'équation y =
x2,
A le point d'abscisse 2 et TA
la tangente en A à P.
a) Démontrer qu'il existe exactement deux cercles tangents en A à
TA et tangents à l'axe
des abscisses.
b) Trouver une équation de chacun de ces cercles.
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