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DEVOIR SURVEILLE N°6
2 heures

Exercice n°1 : 5 points

1)      Exprimer en fonction de  et de  l’expression suivante :

2)      Simplifier le plus possible : .

3)      On donne  et . Calculer  et donner une valeur de t à 10^-2près.

4)      Résoudre dans  l’inéquation : .

5)      Résoudre dans  l’inéquation : .

Exercice n°2 : 2 points

On donne trois points ,  et .

1)      Trouver une équation de la hauteur issue de A et de la hauteur issue de B dans le triangle ABC.

2)      Déduisez-en les coordonnées de l’orthocentre H du triangle ABC.

Exercice n°3 : 3 points

1)      Soit a un réel de .    a) Démontrer que .
b) Déduisez-en que .

2)      Sans calculer  déduisez de la question précédente la valeur exacte de : .

Exercice n°4 : 3 points

Soit ABC un triangle direct, isocèle et rectangle en A. I est le milieu de [BC].

Déterminer et construire l’ensemble des points M vérifiant :

1)      .

2)      .

3)     

Exercice n°5 : 7 points

Soit la fonction f définie sur  par :  où m et p sont des nombres réels quelconques.

1)      Justifier que f est définie sur .

2)      Calculer les nombres m et p pour que C, la courbe représentative de f, passe par le point A de coordonnées (2 ;0) et admette au point B, d’abscisse 1, une tangente parallèle à la droite d’équation.

3)      On considère la fonction g définie sur  par : .
a) Etudier les variations de g et ses limites en  et .
b) Montrer que la courbe C représentative de g admet une asymptote et donner son équation.
c) Construire C dans un repère orthonormal.
d) Soit  un nombre réel, démontrer que  est équivalent à .
e) En déduire graphiquement, selon les valeurs de , le nombre de solutions de l’équation .
f) En déduire, sans calculer le discriminant, le nombre de racines du polynôme :.